Coût marginal et nombre dérivé - À retenir

Définition : le coût marginal \(C_m\) correspond au coût de production d’une unité supplémentaire. Il indique combien coûte la fabrication d’un objet de plus quand on en produit déjà un certain nombre. Il est défini par la relation suivante : \(C_m(x) = C(x+1) - C(x)\) avec `C(x)` le coût de production.

En pratique et pour de grandes quantités produites, on utilise le nombre dérivé \(C′(x)\) comme approximation du coût marginal : \(C_m(x) \approx C'(x)\).

Démonstration à l'aide d'un exemple

Fatoumata est une entrepreneuse. Son usine fabrique des trottinettes électriques. Elle souhaite étudier la rentabilité de sa production. Le coût de production hebdomadaire, en euro, est modélisé par la fonction : \(C(x)=0{,}1x^2+5x+200\) définie sur l’intervalle \([1\,;150]\), où `x` représente le nombre de trottinettes fabriquées par semaine.

Déterminons le coût marginal de la 100ᵉ trottinette.

Méthode 1. Par le calcul direct 

\(C_m(x) = C(x+1) - C(x)\)

\(​C_m(x) = C(101) - C(100)​\)

On calcule à partir de la fonction `C` :

\(C_m(x) = 1\,725{,}1 - 1700\)

\(C_m(x) = 25{,}1\)

Méthode 2. Par la dérivée

On calcule la fonction dérivée de `C` :

\(C'(x)=0{,}2x+5\)

``\(C'(x) = 0{,}2 \times 100 + 5\)

\(C'(x) = 25\)``

Conclusion : `C_m(x) \approx C'(x)`

Le nombre dérivé est donc une bonne approximation du coût marginal.